O que é fração geratriz?

A fração geratriz é um conceito matemático utilizado para representar números decimais periódicos na forma de fração. Ela é muito útil quando queremos expressar um número decimal de forma exata e precisa.

Como funciona?

Para entender como funciona a fração geratriz, vamos considerar um exemplo. Suponha que temos o número decimal periódico 0,3333… O algarismo 3 se repete infinitamente. Para transformar esse número em uma fração, podemos utilizar a seguinte estratégia:

1. Chamaremos o número decimal periódico de x.
2. Multiplicaremos x por 10 elevado ao número de casas decimais do período. Nesse caso, multiplicaremos por 10.
3. Subtrairemos x dessa multiplicação.
4. Isso nos dará uma nova expressão, que chamaremos de y.
5. Multiplicaremos y por 10 elevado ao número de casas decimais do período. Nesse caso, multiplicaremos por 100.
6. Subtrairemos y dessa multiplicação.
7. Continuaremos esse processo até que não haja mais casas decimais do período.
8. Por fim, dividiremos o resultado obtido por 9 vezes o número de algarismos do período.

Aplicando esse processo ao número 0,3333…, teremos:

Continuando o processo, chegaremos ao resultado:

Dividindo o resultado por 9 vezes o número de algarismos do período (9 * 1), teremos:

0,3333… / (9 * 1) = 0,3333… / 9 = 0,037037…

Portanto, a fração geratriz do número 0,3333… é 1/3.

Por que utilizar a fração geratriz?

A fração geratriz é útil porque nos permite expressar números decimais periódicos de forma exata e precisa. Além disso, ela facilita cálculos matemáticos envolvendo esses números, já que as operações com frações são mais simples do que com números decimais.

Por exemplo, se quisermos somar 0,3333… com 0,6666…, podemos utilizar a fração geratriz para obter o resultado:

0,3333… + 0,6666… = 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

Assim, a fração geratriz nos permite obter resultados exatos e evitar arredondamentos que podem introduzir erros nas operações matemáticas.

Referências