Como Calcular Raízes Não Exatas
Introdução aos Números Irracionais
Números irracionais são números que não podem ser expressos como a relação entre dois inteiros. Um exemplo famoso é o número π (pi), mas também há outros, como raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos.
Raízes Não Exatas
Raízes não exatas são aquelas raízes cujos resultados não resultam em um número inteiro ou racional. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é irracional e seu valor aproximado é 1,41421356.
Métodos para Cálculo de Raízes Não Exatas
Método do Método da Proximidade
Este método é baseado na aproximação inicial e é muito útil em cálculos manuais. Consiste em usar uma estimativa inicial e iterar para aperfeiçoá-la.
Passo 1: Estimativa Inicial
Escolha um número que você acredita que seja próximo à raiz que está procurando.
Passo 2: Refinamento
Para refinamento, pode-se usar uma fórmula simples como:
\
x {n+1} = \frac{1}{2}(x n + \frac{a}{x n})
\
onde \( a \) é o número cuja raiz se deseja calcular e \( x n \) é a estimativa atual.
Exemplo
Se estivermos tentando encontrar a raiz quadrada de 7, com uma aproximação inicial de 2:
1. Primeira iteração: \( x 1 = \frac{1}{2}(2 + \frac{7}{2}) = 2.625 \)
2. Segunda iteração: \( x 2 = \frac{1}{2}(2.625 + \frac{7}{2.625}) \approx 2.64575 \)
Método das Séries
Este método utiliza séries infinitas para aproximar as raízes.
Exemplo: Desenvolvimento em Séries de Taylor
A série de Taylor da função \( f(x) = \sqrt{x} \) em torno do ponto 1 é:
\
\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}x^2 + \cdots
\
Para raízes não exatas, podemos ajustar \( x \):
Se procuramos a raiz quadrada de um número \( a \), podemos escrever:
\
\sqrt{a} = 1 + \sum {n=1}^\infty c n (a-1)^n
\
onde os coeficientes \( c n \) dependem da ordem do termo.
Aplicação Prática
Para \( a = 2 \), \( x 0 = 1 \):
\
\sqrt{2} = 1 + c 1 (1) – \frac{c 2}{8}(1)^2 + \cdots
\
Método de Newton
O método de Newton, ou método das tangentes, é um dos métodos mais eficientes para encontrar raízes.
Formulando o Método
A fórmula do método de Newton é:
\
x {n+1} = x n – \frac{f(x n)}{f'(x n)}
\
Para a função \( f(x) = x^2 – a \), onde \( a \) é o número cuja raiz queremos encontrar, temos:
\
f'(x) = 2x
\
Assim:
\
x {n+1} = x n – \frac{x n^2 – a}{2x n}
\
Aplicação do Método de Newton
Considere \( a = 3 \), estimativa inicial \( x 0 = 1.5 \):
1ª iteração: \( x 1 = 1.5 – \frac{1.5^2 – 3}{2 \times 1.5} = 1.75 \)
2ª iteração: \( x 2 = 1.75 – \frac{1.75^2 – 3}{2 \times 1.75} \approx 1.73214 \)
Considerações Finais
Conclusão
Os métodos discutidos aqui são ferramentas eficazes para calcular raízes não exatas, mesmo que manualmente. Eles permitem que você aproxime o valor de uma raiz com precisão cada vez maior conforme iterar.
Aplicações Práticas
As raízes não exatas têm inúmeras aplicações em áreas como física, engenharia e ciência em geral, onde precisão é essencial.
