Como Calcular a Área de um Polígono Regular
Introdução aos Polígonos Regulares
Um polígono é uma figura plana formada por segmentos de reta que se intersectam apenas nas extremidades. Quando todos os lados e ângulos internos de um polígono são iguais, ele é chamado de polígono regular .
Para calcular a área de um polígono regular, é necessário conhecer seu número de lados e o comprimento do lado (ou raio da circunferência circunscrita). Neste artigo, exploraremos as fórmulas utilizadas para determinar essa área com base em informações essenciais.
Fórmula Geral
A fórmula geral para calcular a área de um polígono regular é:
\ A = \frac{n \cdot l^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \
Onde:
– \( n \) = número total de lados do polígono.
– \( l \) = comprimento dos lados do polígono.
Como Aplicar a Fórmula
Vamos detalhar os passos para utilizar esta fórmula com exemplo prático.
Passo 1: Identificar o Número de Lados e o Comprimento dos Lados
Primeiramente, observe que \( n \) é sempre um número inteiro. Se você estiver trabalhando com um polígono equilátero (todos os lados iguais), este valor será importante na fórmula.
Por exemplo:
– Um triângulo regular possui 3 lados.
– Um quadrado regular tem 4 lados, etc.
Passo 2: Aplicar a Fórmula
Após determinar o número de lados \( n \) e o lado \( l \), substitua esses valores na fórmula. Por exemplo:
Se você deseja calcular a área do triângulo equilátero com um lado medindo 5 unidades, insira os seguintes dados na fórmula:
\ A = \frac{3 \cdot (5)^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} \
A seguir, calcule cada componente da fórmula.
1. Primeiro, calcule \( 3 \cdot (5^2) \):
– \( l^2 = 25 \)
– Multiplicação: \( n \cdot l^2 = 75 \)
2. Determine o valor de \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \).
– O cálculo do arco tangente de \( \frac{\pi}{3} \), aproximadamente igual a 0,577.
3. Divida 75 por (4 0,577):
– \( A = \frac{75}{2,308} \approx 32,526 \)
Portanto, o valor da área do triângulo equilátero é aproximadamente 32.526 unidades quadradas .
Aplicação em Polígonos Mais Complexos
Os polígonos mais complexos, como pentágono, hexágono e assim por diante, seguem a mesma lógica. Basta substituir \( n \) pelo número de lados desejado na fórmula.
– Pentágono Regular (n = 5) :
– Use a fórmula para calcular sua área com base no comprimento dos lados.
– Hexágono Regular (n = 6) :
– Calcule o valor da área utilizando os mesmos princípios.
Considerações sobre o Raio do Circunscrito
Outro método de determinar a área de um polígono regular é com base no raio circunscrito. Para isso, use a seguinte fórmula:
\ A = \frac{1}{2} n \cdot R^2 \cdot \sin\left(\frac{2 \pi}{n}\right) \
Onde:
– \( R \) é o comprimento do raio circunscrito ao polígono.
Exemplo
Se um hexágono regular tem um raio de 4 unidades, a fórmula se torna:
\ A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4^2 \cdot \sin\left(\frac{2 \pi}{6}\right) \
– \( R^2 = 16 \)
– \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0,866 \)
Então:
\ A = 3 \cdot 16 \cdot 0,866 \approx 41.759 \
Portanto, o valor da área do hexágono é aproximadamente 41,76 unidades quadradas .
Conclusão
Calcular a área de um polígono regular pode ser simples se você dominar as fórmulas matemáticas e os passos para aplicá-las. Independentemente do número de lados, o polígono será sempre consistente em termos de medidas, o que facilita esses cálculos.
