Como Achar a Função A Partir do Gráfico 2º Grau
Introdução
No ensino médio e na universidade, estudamos funções de segundo grau, que são representadas por parábolas em um sistema cartesiano. Saber determinar as equações dessas funções a partir do gráfico é uma habilidade fundamental para resolver problemas envolvendo esse tipo de função. Este artigo discute como encontrar a função a partir da análise do gráfico.
A Forma Geral de uma Função Quadrática
A forma geral da função quadrática (ou de segundo grau) é:
\ f(x) = ax^2 + bx + c \
Onde \(a\), \(b\) e \(c\) são constantes reais, com \(a \neq 0\). A parábola dessa função pode ser aberta para cima (\(a > 0\)) ou para baixo (\(a < 0\)), dependendo do sinal de \(a\). Passo a Passo para Determinar a Função a Partir do Gráfico 1. Identificar o Valor de 'c' (Termo Constante) O termo constante \(c\) é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Isso pode ser facilmente determinado olhando o gráfico. - Se a parábola passar pelo ponto \((0, c)\), então \(c = f(0) = 0^2 + b\cdot0 + c = c\). - Esse valor é simplesmente a coordenada y do ponto onde a curva corta a linha vertical x = 0. 2. Determinar o Ponto de Vértice O ponto de vértice \((h, k)\) é o ponto mais alto (para parábolas que se abrem para baixo) ou mais baixo (para parábolas que se abrem para cima). Esse ponto pode ser encontrado diretamente no gráfico. - Se a parábola corta o eixo y em \((0, k)\), então \(k = f(0) = 0^2 + b\cdot0 + c = c\). 3. Determinar os Pontos de Interseção com o Eixo x Os pontos onde a função intercepta o eixo das abscissas (ou seja, onde \(y = 0\)) são os zeros da função quadrática. - Se a parábola corta o eixo x em \((x 1, 0)\) e \((x 2, 0)\), então esses pontos representam as raízes da equação \(ax^2 + bx + c = 0\). 4. Aplicar a Forma Fatorada Com os valores de \(c\) (termo constante), dos zeros (\(x 1\) e \(x 2\)) e do ponto de vértice, é possível escrever a função em forma fatorada: \ f(x) = a(x - x 1)(x - x 2) \ 5. Determinar o Valor de 'a' - Após obter a forma fatorada da equação, substitua os valores de um ponto do gráfico na equação para determinar \(a\). Por exemplo: \ f(h) = a(h - x 1)(h - x 2) \ onde \(f(h)\) é o valor do eixo y no ponto de vértice. - Isso proporcionará uma equação que pode ser resolvida para determinar \(a\). 6. Reescrever em Forma Padrão Finalmente, expanda a forma fatorada para obter a função quadrática na forma padrão: \ f(x) = ax^2 + bx + c \ Exemplo Prático Considere um gráfico onde: - A parábola corta o eixo y em \(y = 3\). - O ponto de vértice é \((1, -4)\). - A parábola intercepta o eixo x nos pontos \((-2, 0)\) e \((4, 0)\). Passo a Passo Determinação do Termo Constante \(c\) O termo constante é \(c = 3\) (ponto onde a curva corta o eixo y no gráfico). Forma Fatorada \ f(x) = a(x + 2)(x - 4) \ Determinação de 'a' Substituindo os valores do vértice \(h = 1\) e \(k = -4\): \ -4 = a(1 + 2)(1 - 4) \ \ -4 = a(3)(-3) \ \ -4 = -9a \ Logo: \ a = \frac{4}{9} \ Função Quadrática Assim, a função completa é: \ f(x) = \frac{4}{9}(x + 2)(x - 4) \ Expandido para a forma padrão: \ f(x) = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x - \frac{32}{9} \ Conclusão Dessa maneira, com base em análise do gráfico, é possível determinar as características de uma função quadrática e reconstruí-la completamente. A prática regular permitirá que você desenvolva a habilidade de resolver problemas envolvendo essas funções mais rapidamente e eficazmente.
